2010年12月19日星期日

赌大小基本研究

赌大小是赌场最简单的项目之一。规则简单:庄家掷骰子,玩家猜大小。赢了,获得2倍赌注,输了,赌注交给庄家。简单到和抛硬币一样。


由于每一次掷骰子与前一次掷骰子是无关的。所以,其实每次投出大或者小的概率是不变的。以大=1,小=0来记录,就是p(1)为常数,p(0)=1-p(1)。如果骰子做得很准确,那么p(1)=p(0)=0.5


如果每个人都能够理性的看待这样的问题,赌场就没什么好开的了。


人类是容易“迷信”的,就是说,从一定的观察中总结出一定的规律。观察-总结-提出假设-进行验证。这是科学产生的基本过程。善于总结规律是非常有进化意义的。相信我们基因中已经记录了这样的基本功能。但是,如何进行验证,以什么样的方法来验证,就是需要经过专业科学训练了。


对于赌大小来说,一个简单的策略是这样的,既然p(1)=p(0)=0.5,那么就不应该出现连续的大或者小,1,1,1,1,1。。以后,出现0的可能性就越来越大。不然怎么让概率回到0.5呢。于是,方法是同时观察几个赌桌,看到出现连续多个的大或者小的时候,冲过去下注,下与之前相反的。


问题是,看到连续多少个大或者小的时候才出手下注呢?太少了没意义,太长了有很罕见。于是问题转化成如下:


在0-1随机出现的序列中,连续的0或者连续的1序列的长度是怎样分布的?平均长度是多少?


其实很好算的,

投一次骰子,长度=1

投两次骰子,出现可能出现00,01,10,11。出现长度=2的序列可能性是2/4。

投三次,000,001,010,011,100,101,110,111,出现长度=3的序列,p=2/8.

……

长度=n的序列,其出现的可能P=2/2^n=2^(1-n)

于是平均的长度,就应该等于长度*可能性再加和

l=sum(n*2^(1-n)), n=>Inf

这种简单的计算就交给wolframalpha计算一下就可以了:http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum(n*2^(1-n))

结果=4


这个结论很重要哦,当你在赌场看到连续大或者连续小的次数已经超过4次,那么已经超过平均了。

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这种策略真的会赢么?

比如,我们每当看到赌场里面,出现连续5个大或者小的赌桌,就跑过去下注,下相反的大小。那么赢的情况是111110或者000001,也就是p(l=5)=1/16,输的情况是出现连续6个大或者小,p(l=6)=1/32,好像高很多哦。

不过。。

其实输的情况里还要包括p(l=7),p(l=8)...也就是1/32+1/64+1/128...=1/16

哈,还是和赢的可能一样。

还记得“每一次掷骰子与前一次掷骰子是无关的”,所以下一次出现大还是小的概率仍然=0.5


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推广1:是否能够制作出本次掷骰子与上一次掷骰子的结果有关的呢?

我刚想到的一个可行的方法:将骰子1-6面之间钻个圆柱孔,里面填入非牛顿液体,比如沥青、粘弹剂之类,然后再把两面封好。非牛顿液体是有粘滞性的。抛起来以后,不会马上均匀分布,于是会使一面加重,但它又不是固体,总保持在一个面上,于是下一次的结果是和前一次相关的。


推广2:如果庄家使用了特殊的骰子,那么玩家如何发现,并且应对?

1.发现:只要统计连续大或者连续小出现的长度与频率之间的关系即可。

2.应对:手里拿一枚硬币,以抛硬币的结果来决定压大小。这时相当于将玩家猜测庄家的大小,转化成了庄家猜测玩家手里硬币的正反。至少是可以保证玩家是不亏的。


推广3:观察窗

如果只观察大小序列的一部分,比如长度=L,那么长度比L更大的序列不会出现,于是是否会使概率偏向赢的方向呢?随着观察窗的逐渐延长,更多的小概率事件才会暴露出来,将输的概率提高。如果是这样的话,就可能出现玩家一开始玩的时候表现出多赢,随着时间的延长,各种小概率的输局出现,玩家开始输。如果玩家一直保持等量投注也就罢了。但通常而言,赌博这种事情,都是从小到大开始的,赢了就下更多的注,于是在胜率略高的时候,投注较小,而在负率较高的时候投注却大了起来。总和而言就是赔得多了。于是虽然是赌大小并没有对庄家有利,但仍然可以盈利。

这个问题还只是猜测,我还没想太明白。



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